Funcții · clasa a X-a
Lecție interactivă

Monotonie și injectivitate la funcții

O funcție "urcă" sau "coboară" pe măsură ce x crește — asta înseamnă monotonie. Injectivitatea întreabă altceva: poate același rezultat să vină din două valori diferite? Explorăm ambele idei cu grafice pe care le controlezi chiar tu.

💡 Lecția e gândită să meargă în ritmul tău: la exerciții apeși pentru fiecare pas de rezolvare, iar progresul rămâne salvat în acest browser dacă vrei să revii mai târziu.
EXPLORATOR DE GRAFICE

Alege o funcție și vezi-i comportamentul

Familia de funcții și parametrii aleși aici sunt folosiți în toată lecția — mergi mai jos la Monotonie și Injectivitate ca să vezi aceeași funcție analizată din alt unghi.

crescătoare descrescătoare
TEORIE

Monotonia unei funcții

Definiție. O funcție f este strict crescătoare pe un interval I dacă, pentru orice x₁, x₂ ∈ I cu x₁ < x₂, avem f(x₁) < f(x₂). Este strict descrescătoare dacă x₁ < x₂ implică f(x₁) > f(x₂). Spunem că f este monotonă pe I dacă e crescătoare pe tot I sau descrescătoare pe tot I.

Practic: alegi două puncte oarecare din interval, îl compari pe cel din stânga cu cel din dreapta, și verifici dacă ordinea se păstrează (crescătoare) sau se inversează (descrescătoare).

Compară f(x₁) cu f(x₂)

Mută cele două puncte pe funcția aleasă mai sus și urmărește concluzia generată automat.

Exemplu rezolvat

Studiați monotonia funcției f(x) = 3x − 5 pe ℝ, folosind definiția.

Pas 1. Fie x₁, x₂ ∈ ℝ, cu x₁ < x₂. Vrem să comparăm f(x₁) cu f(x₂).
Pas 2. Calculăm diferența: f(x₁) − f(x₂) = (3x₁ − 5) − (3x₂ − 5) = 3(x₁ − x₂).
Pas 3. Cum x₁ < x₂, avem x₁ − x₂ < 0, deci 3(x₁ − x₂) < 0, adică f(x₁) − f(x₂) < 0, deci f(x₁) < f(x₂).
Concluzie. Din x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂), deci f este strict crescătoare pe ℝ. Observă că acesta e cazul a = 3 > 0 din formula generală f(x) = ax + b.
TEORIE

Injectivitatea unei funcții

Definiție. O funcție f este injectivă dacă din f(x₁) = f(x₂) rezultă x₁ = x₂ — cu alte cuvinte, valori diferite ale lui x nu pot da niciodată același rezultat. Grafic, f e injectivă dacă orice dreaptă orizontală y = k taie graficul în cel mult un punct.

Legătura cu monotonia. Orice funcție strict monotonă pe un interval este injectivă pe acel interval — dacă mereu urci sau mereu cobori, nu te poți întoarce la aceeași înălțime. Reciproca nu e mereu adevărată: o funcție poate fi injectivă fără să fie monotonă pe tot domeniul.

Testul liniei orizontale

Mută linia y = k peste graficul funcției alese mai sus și numără punctele de intersecție.

Exemplu rezolvat

Arătați că f(x) = x² − 2x + 3 nu este injectivă pe ℝ, dar este injectivă pe [1, ∞).

Pas 1. Scriem f sub formă canonică: f(x) = (x − 1)² + 2. Vârful parabolei este în x_v = 1.
Pas 2. Căutăm două valori diferite cu aceeași imagine, alese simetric față de x_v = 1: pentru x₁ = 0 și x₂ = 2 obținem f(0) = 3 și f(2) = 3.
Pas 3. Cum 0 ≠ 2 dar f(0) = f(2), rezultă că f nu este injectivă pe ℝ.
Pas 4. Pe [1, ∞): pentru x₁, x₂ ≥ 1 cu x₁ < x₂, avem 0 ≤ x₁−1 < x₂−1, deci (x₁−1)² < (x₂−1)², deci f(x₁) < f(x₂).
Concluzie. f este strict crescătoare, deci injectivă, pe [1, ∞) — chiar dacă nu este injectivă pe tot ℝ.

Verificare rapidă: funcția f(x) = 5 (constantă) este injectivă pe ℝ?

Corect răspunsul e "Nu": f(1) = f(2) = 5, deși 1 ≠ 2, deci definiția injectivității este încălcată.

RECAPITULARE

Mai multe exerciții rezolvate

Determinați monotonia funcției f(x) = −2x + 7 și stabiliți dacă este injectivă pe ℝ.

Pas 1. Fie x₁, x₂ ∈ ℝ cu x₁ < x₂. Calculăm f(x₁) − f(x₂) = (−2x₁ + 7) − (−2x₂ + 7) = −2(x₁ − x₂).
Pas 2. Cum x₁ < x₂, avem x₁ − x₂ < 0, deci −2(x₁ − x₂) > 0, adică f(x₁) > f(x₂).
Pas 3. Din x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂), deci f este strict descrescătoare pe ℝ (coeficientul a = −2 < 0).
Concluzie. Fiind strict monotonă pe ℝ, f este și injectivă pe ℝ.

Dacă o funcție este strict monotonă pe un interval, este ea automat injectivă pe acel interval?

Da — dacă f mereu crește (sau mereu scade) pe interval, nu poate lua aceeași valoare de două ori, deci este injectivă acolo.

Este f(x) = x² injectivă pe intervalul [−3, 3]?

Nu: de exemplu f(−2) = f(2) = 4, deci două valori diferite din interval dau aceeași imagine.